Math009 บทประยุกต์ของอนุพันธ์

ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

     

            ฟังก์ชันใด ๆ จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด จะต้องมีลักษณะดังทฤษฎีบท ต่อไปนี้  

ตัวอย่างที่ 1   กำหนดให้ f(x) = 2x³ – 3x² – 12x + 4 จงตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วงใด และ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงใด

วิธีทำ      จาก         f(x)   =  2x³ – 3x² – 12x + 4

            เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันพหุนาม

            ดังนั้น f มีความต่อเนื่องทุกค่าของ x ที่เป็นจำนวนจริง

            จะได้       f^/(x)  =  6x² – 6x – 12 

            เนื่องจากค่า x ที่ทำให้ f เป็นฟังก์ชันลดคือค่า x ที่ทำให้ f^/(x) เป็นจำนวนลบ

            นั่นคือ            f^/(x)   <  0

                      6x² – 6x – 12  <  0

                           x² – x – 2  <  0

                       (x + 1)(x – 2)  <  0

                   จากกราฟ ช่วงที่ f^/(x) < 0 คือ ( - 1, 2) และ ช่วงที่ f^/(x) > 0 คือ ( -¥, -1) และ ( 2, ¥)

                   ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง ( - 1, 2) f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง ( -¥, -1) และ ( 2, ¥)

ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

     

      ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน มีนิยามดังนี้ 

ตัวอย่างที่ 2   กำหนดให้ f(x) = 2x³ – 3x² – 12x + 4 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์และจุดสูงสุดสัมพัทธ์

วิธีทำ           จาก           f(x)   =  2x³ – 3x² – 12x + 4

                   จะได้          f^/(x)  =  6x² – 6x – 12 

                   ให้       6x² – 6x – 12  =  0

                             6(x + 2)(x – 1) =  0

                   เมื่อ f^/(x) = 0  จะได้     x  = - 2 หรือ x = 1

                   ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน f มี 2 ค่า คือ –2 และ 1

          ถ้าพิจารณาค่าของ f^/(x) เมื่อ x เป็นค่าวิกฤตและจำนวนจริงในช่วงต่าง ๆ จะได้ตาราง ดังนี้

        จากตาราง จะได้ว่าฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ f(–2) = 13 และมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ     f(1) = –14

         นอกจากนี้เรายังสามารถใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2 มาช่วยในการพิจารณาว่าค่าวิกฤตนั้น ๆ ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ โดยอาศัยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 3   กำหนดให้ f(x) = x³ + 3x² – 24x – 20  จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์และจุดสูงสุดสัมพัทธ์

วิธีทำ            จาก          f(x)   =  x³ + 3x² – 24x – 20 

                  จะได้         f^/(x)  =  3x² + 6x – 24 

                   ให้           3x² + 6x – 24  =  0

                                 3(x + 4)(x – 2) =  0

                   เมื่อ f^/(x) = 0  จะได้  x  = –4  หรือ x = 2

                   ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน f มี 2 ค่า คือ –4 และ 2

                   ต่อไปหาอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของฟังก์ชัน

                             f^//(x)    =  6x + 6

                             f^//(–4)  =  –18  < 0

                             f^//(2)    =  18  >  0

          ดังนั้น  f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = – 4 และมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ f(-4) = 60

          และ f มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 และมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ f(2) = – 48

ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

     

      ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน มีนิยามดังนี้

ขั้นตอนของการหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

          ถ้าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] แล้ว สามารถหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน f ตามขั้นตอน ดังนี้

1.       หาค่าวิกฤตทั้งหมดในช่วงปิด [a, b]

2.       หาค่าของฟังก์ชัน ณ ค่าวิกฤตที่ได้จากข้อ 1.

3.       หาค่า f(a) และ f(b)

4.       เปรียบเทียบค่าที่ได้จากข้อ 2 และข้อ 3 ซึ่งจะทำให้ได้ข้อสรุปว่า

ค่ามากที่สุดจากข้อ 2 และข้อ 3 เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน f

ค่าน้อยที่สุดจากข้อ 2 และข้อ 3 เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน f

ตัวอย่างที่ 4   กำหนดให้ f(x) = x³ – 3x + 2  จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน f

                 บนช่วงปิด [0, 2]

วิธีทำ           จาก           f(x)   =  x³ – 3x + 2 

                     จะได้          f^/(x)  =  3x² – 3

                  ให้            3(x² – 1) =  0

                                 3(x – 1)(x + 1) =  0

                   เมื่อ f^/(c) = 0  จะได้  x  = –1  หรือ x = 1 แต่  –1 Ï [0, 2]

                   ดังนั้น ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน f ในช่วงปิด [0, 2] คือ 1

                   ต่อไปคำนวณหา f(0), f(1) และ f(2) จะได้

                             f(0)  =  2

                             f(1)  =  0

                             f(2)  =  4

          สรุปได้ว่า f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ x = 2 ซึ่งมีค่า f(2)  =  4

          f มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ x = 1 ซึ่งมีค่า f(1)  =  0

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

         ในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด จะต้องพิจารณาเงื่อนไขของฟังก์ชันที่กำหนดให้ว่ามีโดเมนเป็นอย่างไร และปัญหาต้องการให้หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

หลักเกณฑ์ทั่ว ๆ ไปในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

1.       ทำความเข้าใจกับปัญหาอย่างละเอียดให้ทราบว่าต้องการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของอะไร ให้กำหนดสิ่งนั้นด้วยตัวแปร y และกำหนดตัวแปร x แทนสิ่งที่กำหนดค่าของ y เมื่อ f เป็นฟังก์ชัน

2.       เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ของ y และ x ให้อยู่ในรูป y = f(x)

3.       หาอนุพันธ์ของ y

4.       หาค่าวิกฤตของฟังก์ชันในข้อ 2

5.       นำค่าวิกฤตในข้อ 4 มาทำการตรวจสอบว่าทำให้ y มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดหรือไม่

ตัวอย่างที่ 5   ต้องการนำลวดหนามที่มีความยาว 1,000 เมตร มากั้นพื้นที่ที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยที่มีด้าน  

                  หนึ่งอยู่ติดริมรั้วบ้านซึ่งไม่ต้องขึงลวดหนาม จงหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมดังกล่าวที่ทำให้ได้พื้นที่

                  มากที่สุด

วิธีทำ           ให้ y เป็นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า x เป็นความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมนี้

                 จากโจทย์ จะได้ว่า

   

                ดังนั้น ความยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือ 1000 – 2x เมตร

          ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่าง y และ x เป็นดังนี้

                             y  =  x (1000 – x)      เมื่อ 0 £ x £ 500

          ดังนั้น             y  =  1000x – x²

                             y ^/ =  1000 – 4x

          ถ้า  y ^/ = 0  จะได้  1000 – 4x = 0  หรือ  x = 250

          ดังนั้น  ค่าวิกฤต คือ 250

          จาก               y ^/ =  1000 – 4x

          จะได้             y ^// = – 4  < 0

          แสดงว่า  ถ้า x = 250 แล้วจะให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ซึ่งเท่ากับ

                     250(1000 – 250) = 125,000 ตารางเมตร

          ดังนั้น  ต้องกั้นพื้นที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง 250 เมตร และยาว 500 เมตร จึงจะทำให้มีพื้นที่มากที่สุด

แบบฝึกหัดชุดที่ 7 จ้า คลิกตรงนี้